Untersuchung von Schwingkreiselementen im Wechselstromkreis

Problem: Das Verhalten von Strom und Spannung in einem Wechselstromkreis soll untersucht werden. Dabei möchte man z.B. die Kapazität eines Kondensators aus den mit dem Oszilloskop gemessenen Werten ermitteln.

Abb. 2 Wechselstromkreis

Wir bauen nun eine Schaltung nach Abb. 2 auf und schließen die beiden Spannungsausgänge an das Oszilloskop. Dabei verwenden wir das Oszilloskop im Zweistrahl-Modus, um etwas über die Phasenbeziehungen von Spannung und Strom zu erfahren.
Um eine Vorhersage über das Verhalten von Strom und Spannung zu treffen, betrachten wir zunächst die Kapazitätsgleichung für einen Kondensator:

$$C \cdot U_C$$ Q = (4)

$$\Rightarrow \dot{Q} I = C \cdot \dot{U_C}$$ = (5)

$$\Rightarrow U_C \int\limits_{0}^{t}{I(t')dt'}$$ = (6)

Nimmt man also etwa die Spannung U_C als sinusförmig an, dann würde der Strom I in einem Diagramm mit derselben Zeitachse einen Cosinus beschreiben:

Abb. 3 Phasendiagramm

Wir geben damit die folgende Vorhersage ab:


Die Spannung U ``hinkt'' dem Strom I um $\frac{\pi}{2}$ hinterher.

Wie aus dem Schaltungsaufbau hervorgeht, messen wir nicht I direkt, sondern - da wir mit dem Oszilloskop nur Spannungen messen können - die an einem Widerstand R abfallende Spannung U_R, die jedoch aufgrund des ohmschen Gesetz proportional zu I ist.
Das Bild auf dem Oszilloskop zeigt nun eine Phasenverschiebung um $-\frac{\pi}{2}$ bzw. $\frac{3\pi}{2}$ an, was zunächst zu der Theorie im Widerspruch zu stehen scheint. Betrachtet man jedoch das Schaltbild in Abb. 2, so erkennt man, daß die Erdung des Widerstandes und des Kondensators derart vorgenommen wurde, daß man die Spannung am Kondensator U_C mit entgegengesetzter Polung, also mit einer Phasendifferenz von 180^o mißt. Berücksichtigt man diese Verschiebung, so bestätigt das Experiment die Theorie.

Wir wollen nun die Kapazität C des Kondensators aus U_R und U_C berechnen. Dazu betrachten wir zunächst die komplexe Darstellung eines kapazitiven Widerstandes:

$$\frac{1}{i\omega C} \hspace{1cm} \Rightarrow \hspace{1cm} \vert Z_C\vert = \frac{1}{\omega C}$$ Z_C = (7)

Weiterhin gilt:

$$\frac{\hat{U}_C}{\hat{U}_R} \frac{\vert Z_C\vert}{R}$$ = (8)

Daraus folgt durch Einsetzen:

$$\frac{1}{\omega R} \cdot \frac{\hat{U}_R}{\hat{U}_C}$$ C = (9)

Dabei haben wir direkt die Scheitelspannungen $\hat{U}$ als Meßwerte angesetzt, der Faktor $\sqrt{2}$ gegenüber der effektiven Spannung U_effkürzt sich im obigen Bruch heraus.

Wir verwenden einen Widerstand mit $R=10 \cdot (1 \pm 10 \%) k\Omega$, auf dem Oszilloskop lesen wir daraufhin folgende Werte ab:

$$\hat{U}_R = 2.8 ( 1 \pm 3.5 \%) V$$ (10)

$$\hat{U}_C = 3.6 ( 1 \pm 1.5 \%) V$$ (11)

Daraus ergibt sich für C:

$$\frac{1}{2 \pi \cdot 50 \frac{1}{s} \cdot 10 (1 \pm 10 \% ) k \Omega } \cdot \frac{2.8 ( 1 \pm 3.5 \%) V}{3.6 ( 1 \pm 1.5 \%)V}$$ C = (12)

$$247,7 ( 1 \pm 15 \%) \cdot 10^{-9} F$$ = (13)

Dies entspricht nur ungefähr dem auf dem Kondensator angegebenen Wert von C = 100 nF, offenbar ist entweder dieser Wert mit einem hohen Fehler behaftet, oder ein systematischer Fehler wurde nicht erkannt und ausgeschlossen.