Die Translation eines Körpers der Masse m wird beschrieben durch den

Geschwindigkeitsvektor v = dx/dt.

Der Vektor zeigt zu jedem Zeitpunkt in die Bewegungsrichtung und hat die Länge der Geschwindigkeit (= Streckenänderung pro Zeit). Der Impulsvektor p = mv zeigt immer in Richtung von v, da die Masse (die Trägheit) m eines Körpers in alle Raumrichtungen gleich ist. Führen wir ein Koordinatensystem ein und zerlegen den Impuls- und den Geschwindigkeitsvektor in seine Komponenten p_i und v_i, haben diese einzelnen Komponenten stets den Proportionalitätsfaktor m (s. Bild 1.1). Dies gilt auch bei der Beschreibung durch ein nicht rechtwinkliges Koordinatensystem.

Je stärker und je länger eine Kraft F = dp/dt auf den Massenpunkt einwirkt, desto mehr ändert sich sein Impuls p. Wirkt keine Kraft F auf den Körper, so bleibt sein Impuls nach Betrag und Richtung konstant.

Die kinetische Energie des Massenpunktes beträgt E = ½ mv².

Wie im Sprachgebrauch üblich, sagt man: etwas dreht sich um eine Achse. Die Drehgeschwindigkeit wird beschrieben durch w  = dj /dt (= Winkeländerung pro Zeit). Um auch den Sinn der Drehung ("rechtsherum" oder "linksherum") zu beschreiben, führt man -analog zum Geschwindigkeitsvektor v-

längs der Drehachse den Winkelgeschwindigkeitsvektor oder Drehvektor w  = dj /dt ein.

 

 Bild 1.2

a) Translation: die Richtung der Körperachsen bleibt erhalten.

b) reine Rotation.

c) Translation und Rotation.

mit freundlicher Genehmigung des Verlages entnommen aus: Gertsen/Kneser/Vogel, 14. Auflage, S. 66 © Springer, Heidelberg 1986

 

 

Wenn für Sie die Rotation im Uhrzeigersinn stattfindet, dann betrachten Sie diese in Richtung des Drehvektors +w (rechtsdrehende Bohrmaschine oder Korkenzieher, Daumenregel der rechten Hand. Betrachten Sie die Rotation in Bild 1.3 "von unten", so schauen Sie in Richtung des Drehvektors).

Ein Massenpunkt m, der sich im Abstand r mit der Winkelgeschwindigkeit w um den Ursprung 0 des Koordinatensystems bewegt, hat die Tangentialgeschwindigkeit v = w  × r, sein Drehimpuls ist definiert durch

(1.1) L = r × p = m (r × v) = m (r × (w  × r)).

Der Betrag des Drehimpulses ist |L| = L = m rv sina , wobei |r ´  v| = rv sina der Flächeninhalt des von r und v aufgespannten Parallelogramms ist (Bild 1.3).

in Analogie zur Masse bei der Translationsbewegung L = mr² w = I w .

Wirkt kein Drehmoment M = dL/dt = r ´  F  auf den Massenpunkt, so bleibt sein Drehimpuls konstant in Betrag und Richtung. Die Konstanz des Drehimpulses sehen Sie prägnant am gut gelagert kardanisch aufgehängten Kreisel (Bild 2.2 Seite 21): Bewegen Sie die Aufhängung des rotierenden Kreisels, so bleiben Drehgeschwindigkeit und Drehachse räumlich konstant - vorausgesetzt, daß Reibungseffekte vernachlässigt werden können.

Als Energie ergibt sich: E = ½ mv² = ½ mr²w 2 = ½ Iw ².

I.1.3 Die Rotation starrer Körper ## Wenn der Abstand zwischen je zwei Massenelementen des Körpers als konstant angenommen werden kann, bezeichnen wir ihn als starren Körper. Während diese Annahme hier bei einem Stück Stahl oder Holz noch vertretbar ist, können wir einen Gummiball oder ein mit Wasser gefülltes Gefäß nicht als starren Körper bezeichnen. ##

 

Betrachtet man den in Bild 1.5 dargestellten Quader, so ist sofort ersichtlich, daß eine Rotation mit der Winkelgeschwindigkeit w_x um die x-Achse eine größere Energie beinhaltet als eine Rotation mit gleicher Winkelgeschwindigkeit w_z = w_x um die z-Achse: Das Trägheitsmoment des Quaders um die z-Achse ist kleiner als das um die x-Achse.

 

(1.2) .

 

 

 

 

Während wir die Translationsbewegung selbstverständlich in Komponenten aufteilen (s. Bild. 1.1), fällt es schwerer, sich die Rotation eines Körpers in Komponenten vorzustellen. Denken Sie sich eine homogene Kugel (alle durch den Schwerpunkt verlaufenden Drehachsen haben das gleiche Trägheitsmoment) in der Schwerelosigkeit, der Sie zwei Drehstöße um durch den Schwerpunkt verlaufende Achsen erteilen. Sie addieren sich vektoriell analog zu Bild 1.1 (p~L, v~w , m~I mit L_x=Iw _x und L_z=Iw _z), und es resultiert eine Drehung w um eine räumlich konstante Achse. Der Drehvektor w w

Geben Sie dem Quader zwei Drehstöße, etwa um die zwei in Bild 1.6 eingezeichneten Achsen, werden diese ebenfalls vektoriell addiert. Nun sind jedoch der Impulsvektor L und der Drehvektor w aufgrund der unterschiedlichen Trägheitsmomente I_x I_y  I_z im allgemeinen nicht parallel und der Drehvektor w nicht räumlich konstant. Hieraus resultiert die "Torkelbewegung", die Nutation eines Kreisels.

Um die Rotationen eines starren Körpers in allen Richtungen zu beschreiben, muß das Trägheitsmoment des Körpers für alle möglichen Drehachsen ausgedrückt werden. Dies leistet der Trägheitstensor I , eine für einen Körper charakteristische 3´ 3 Matrix, mit der gilt: L = I w . Wählen wir die Drehachsen des Quaders in Bild 1.5 (Hauptträgheitsachsen) als Koordinatenachsen (x, y, z), so nimmt I eine einfache Diagonalgestalt an s. (1.5).

A ´  (B ´  C) =(A C)B - (A B) C und nach (1.1) für das i-te Massenelement des starren Körpers im Abstand r_i zur Drehachse

L_i =m_i (r_i × v_i) = m_i (r_i × (w  × r_i)) = m_i [(r_i r_i) w - (r_i w ) r_i].

(1.3) .

Die Zerlegung der Vektoren L und w in ihre Komponenten liefert für die x’-Komponente von L:

L_x’  = w _x’  ò(x’²+y’²+z’²) dm - ò(w _x’x’+w _y’y’+w _z’z’) x’ dm 

I_x’x’ = ò  (r² - x’²) dm, I_x’y’ = I_y’x’ = -ò  x’y’ dm

(1.4) I_y’y’ = ò  (r² - y’²) dm, I_y’z’ = I_z’y’ = -ò  x’y’ dm

I_z’z’ = ò  (r² - z’²) dm, I_x’z’ = I_z’x’ = -ò  x’y’ dm

Der Zusammenhang zwischen L und w ist also durch eine lineare Abbildung gegeben, beide Vektoren sind demnach im allgemeinen nicht parallel zueinander. I ist definiert über einem dreidimensionalen Euklidischen Vektorraum V. Da der Rotationssinn irrelevant für das Trägheitsmoment ist, ist die I zugeordnete Matrix symmetrisch ## Da die Komponenten reell sind, ist der Tensor I selbstadjungiert und hermetisch. ## (siehe (1.4)). Die lineare Algebra beweist nun als Hauptachsentheorem ?? Ausführlich in: G. Fischer, 1995, Lineare Algebra, Kap. 10. ??, daß jede endlich dimensionale Matrix ,diagonalisierbar’ ist (oder: auf Hauptachsenform gebracht werden kann), d.h. für die durch die Matrix dargestellte lineare Abbildung gibt es eine Orthonormalbasis, in der ihre Matrix nur auf der Hauptdiagonalen von Null verschiedene Einträge (Eigenwerte) besitzt.

Physikalisch hat das zur Folge, daß es in jedem starren Körper (mindestens) drei zueinander senkrechte Rotationsachsen gibt, für die w und L parallel sind. In dem durch diese Achsen gegebenen Koordinatensystem x, y, z nimmt I Diagonalgestalt ?? Ausführlich in Scheck, 1994. ?? an:

(1.5)

Die Koordinatenachsen dieses körperfesten Koordinatensystems x, y, z werden Hauptträgheitsachsen oder Hauptachsen, die zugehörigen Massenträgheitsmomente (die reellen Eigenwerte I_x, I_y, I_z) Hauptträgheitsmomente genannt. Für den Drehimpuls L = (L_x, L_y, L_z) und die Winkelgeschwindigkeit w  = (w _x, w _y, w _z) gilt

 

(1.6) L = I w  = I_x w _x + I_y w _y + I_z w _z oder

 in Matrizenschreibweise.

(Für den Betrag L eines Vektors L gilt: ² = L² = L_x² + L_y² + L_z²).

 

Die Massenträgheitsmomente aller Achsen durch den Ursprung 0 lassen sich also als Linearkombinationen der Hauptträgheitsmomente darstellen.

Nach Bild 1.7 fällt die Richtung von L nur dann mit der von w zusammen, wenn die Trägheitsmomente I_x, I_y und I_z gleich sind, oder wenn die Drehung um eine der Hauptträgheitsachsen erfolgt, so daß nur eine Komponente der Drehung vorhanden ist. Bild 1.7 entspricht Bild 1.6 eines allgemeinen Körpers in drei Dimensionen.

 

 

 

 

 

wobei I_w das Trägheitsmoment um die augenblickliche Drehachse w ist.

Die kinetische Energie ist als quadratische Größe eine Zahl und kein Vektor. Denken wir sie uns dadurch erzeugt, daß wir den Körper um seine Hauptträgheitsachsen mit den entsprechenden Komponenten von w drehen, dann erhalten wir:

(1.12) = ½ (I_x w _x² + I_y w _y² + I_z w _z²).

Es folgt: 2 E_kin  = Iw  w ² = Iw  (w _x² +w _y² +w _z² ).

(1.13) 2 E_kin  = w _x L_x + w _y L_y + w _z L_z = w  L

mit L_x = I_x w _x, L_y = I_y w _y und L_z = I_z w _z läßt sich schreiben:

2 E_kin  = I_x w _x² + I_y w _y² + I_z w _z² =

(1.14) ¹.

, und .

Auf diesem Ellipsoid liegt der Endpunkt des Drehvektors w . Zeichnet man dieses Ellipsoid für den Sonderfall 2 E_kin = 1, so erhält man ein gleichachsig-ähnliches Ellipsoid mit den Halbachsen (Bild 1.9)

 

, und , den Trägheitsradien.

Dieses Ellipsoid, das nur mehr von den Trägheitsmomenten des Körpers abhängt, nennt man Trägheitsellipsoid. Die Trägheitsradien liegen in Richtung der Hauptträgheitsachsen und somit, da wir oben die Hauptträgheitsachsen als Koordinatensystem ## Im Koordinatensystem das längs der Hauptachsen definiert ist, sind die Achsen ein Maß des Vektors r  = (r _x, r _y, r _z) , nicht aber des Ortsvektors R. ## verwandt haben, auf den Koordinatenachsen. Selbstverständlich kann das Trägheitsellipsoid auch aus dem allgemeinen, nicht diagonalisierten Trägheitstensor entwickelt werden: Das Trägheitsellipsoid liegt dann schief im Koordinatensystem und die Hauptachsentransformation kann dann als Ausrichtung des Koordinatensystems x’, y’, z’ nach den Halbachsen r _x, r _y und r _z des Ellipsoids verstanden werden ?? Vgl. Demtröder, 1994. ?? .

Nicht alle Ellipsoide können Trägheitsellipsoide sein. Es ist, wenn wir das Koordinatensystem mit den Hauptträgheitsachsen zusammenfallen lassen:

 

I_x + I_y = ò (y² + z²) dm + ò (x² + z²) dm = ò x² dm + ò y² dm + 2 ò z² dm

 

<=> I_x + I_y = I_z + 2 ò  z² dm

entsprechend gilt: I_y + I_z = I_x + 2 ò x² dm

I_z + I_x = I_y + 2 ò y² dm.

 

Da die Integrale stets positive Werte haben müssen, ist die Summe von zwei Trägheitsmomenten eines starren Körpers immer größer als das dritte Trägheitsmoment; es sind also nur solche Trägheitsmomente möglich, aus denen sich, als Strecke abgetragen, ein Dreieck konstruieren läßt.

I.1.8 Die Eulerschen Winkel ## Die Eulerschen Winkel treten zuerst 1748 in Eulers ‘Introductio in analysin infinitorium’ auf. ##

Werfen sie einen Gegenstand durch die Luft, so beschreibt dessen Schwerpunkt die bekannte Wurfparabel. Gleichzeitig rotiert der Körper um seinen Schwerpunkt. Zur Beschreibung dieser Bewegung benötigt man ein im Raum festes Koordinatensystem x_R, y_R, z_R (Inertialsystem), in dem die drei Koordinaten des Ortsvektors R der Translationsbewegung des Schwerpunktes ## Die Wahl des ausgezeichneten Punktes im körperfesten System hängt ab von der jeweiligen Problemstellung. Eulersche Winkel und Drehungsmatrizen explizit in Honerkamp / Römer §4 ## im Raum dargestellt werden. Da die Eigenrotation des Körpers am einfachsten im Hauptachsensystem des Körpers zu beschreiben ist, wählen wir dieses sinnvollerweise als körperfestes Koordinatensystem.

Nun benötigen wir drei weitere Koordinaten zur Beschreibung der Winkellage, d. h. der Orientierung dieses körperfesten Koordinatensystems im Raum — die Eulerschen Winkel.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Da Drehungen nicht kommutativ sind (Bild 1.13), müssen die einzelnen Drehachsen exakt vereinbart werden.

Der Übergang vom Raumsystem auf das gedrehte System wird mit drei Drehungen ausgeführt, die nach Bild 1.12b) in folgender Reihenfolge vorzunehmen sind ?? Bild 1.13 und Text nach F. Kuypers, 1993. ??

:

1. Drehung j um die z_R-Achse. Dabei geht die x-Achse in die punktierte ,Knotenlinie’ 0N über.

2. Drehung J um die Knotenlinie 0N. Die inertiale z_R-Achse und die körperfeste z-Achse schließen demnach den Winkel J ein.

Das mitrotierende Koordinatensystem x, y, z mit den Einheitsvektoren e_x, e_y und e_z rotiert nun mit der Winkelgeschwindigkeit w gegen das raumfeste Koordinatensystem x_R, y_R, z_R mit den Einheitsvektoren e_Rx, e_Ry und e_Rz, während der Ursprung 0_R = 0 für alle Zeiten zusammenfällt (R = 0).

Das körperfeste System rotiert nun mit der konstanten Geschwindigkeit w gegen das Raumsystem. Also gilt

v_R =  ⁼⁺

Für die mit der Winkelgeschwindigkeit w _R rotierenden Einheitsvektoren des körperfesten Systems gilt:

, ,

u  = (w  ´ e_x) x + (w  ´ e_y) y +(w  ´ e_z) z

= w  ´  (e_x x + e_y y + e_z z)

= w  ´  r.

(1.15) v_R = v + (w  ´  r).

I.1.8 Die Eulerschen Gleichungen ?? Nach Demtröder, 1994. ??

Im körperfesten Koordinatensystem, dessen Achsen die Hauptachsen des Körpers sind, das also starr mit dem Körper verbunden ist und daher mit der Winkelgeschwindigkeit w gegen das raumfeste System rotiert, ist die zeitliche Ableitung des Vektors L dann:

,

erhalten.

Man beachte, daß hier L im Hauptachsensystem angegeben ist, w jedoch im raumfesten System! Im allgemeinen Fall braucht w in keinem der beiden Systeme zeitlich konstant zu sein. Schreibt man die Gleichung für die Komponenten in Richtung der drei Hauptachsen aus, so erhält man z. B. für die x-Achse:

.

Für den Spezialfall des Kugelkreisels (I = I_x = I_y = I_z) gilt: M = I dw /dt

Die Differentialgleichungen sind quadratisch in w und die analytische Lösung ist mit Ausnahme von Spezialfällen schwierig ## F. Klein und A. Sommerfeld führen in ihren vier Werken eine qualitative Diskussion der Gleichungen mit Hilfe elliptischer Integrale durch. ##. Am Ende des Kapitels "Nutation" (I.3.7) schließen sich Lösungen für einen einfachen Spezialfall an.