II.4.1.1 Messung des Rückstellmomentes D_R der Spiralfeder

durch die Differenz der Schwingungsdauern mehrerer Körper. Hierbei benutze ich die Rotationsscheibe als Körper mit unbekanntem Trägheitsmoment, da eine optimale Halterung zur Montage der Rotationsscheibe auf die Torsionsfeder zur Verfügung steht. Ich führe zwei unabhängige Messungen mit zwei verschiedenen, homogenen Metallzylindern durch:

Aluminiumzylinder : R_Alu = (0,119975 ± 0,0003) m, M_A = (1395,00 ± 0,03)g,

Stahlzylinder: R_St = (0,101325 ± 0,0003) m, M_S = (6435,5 ± 0,5)g.

Die Genauigkeit der Radien scheint in bezug auf deren Fehler unangemessen groß, sie folgen jedoch aus dem mit der Schieblehre sehr genau gemessenen Durchmesser. Den Fehler habe ich aus folgendem Grund höher angesetzt: beim Auflegen der jeweiligen Zusatzscheibe auf die Rotationsscheibe habe ich zum Zentrieren der Zusatzscheibe die Apparatur in eine Rotationsschwingung mit Amplitude A > p versetzt und mit dem Auge fixierte Gegenstände des Raumes über den Rand der jeweiligen Zusatzscheibe angepeilt und damit eine Unwucht korrigiert. Den trotzdem entstehenden, sehr geringen Fehler durch sehr leichte Unwucht möchte ich hiermit berücksichtigen. Zum Wiegen bis 2kg stand mir eine Präzisionswaage zur Verfügung, darüber hinaus verwendete ich eine Balkenwaage, daher stammen die unterschiedlichen Fehler in den Massenangaben.

Bei der anschließenden Messung der Schwingungsdauer T ist zu beachten, daß die Amplitude A < p /2 gewählt wird, da sonst das rücktreibende Drehmoment der Torsionsfeder nicht als linear angenommen werden kann, was zu großen Fehlern führt!

Auffallend ist die viel größere Reibung bei der Torsionsschwingung mit der Stahlplatte als Zusatzscheibe.

Alle Tabellen wurden mit einem Tabellenkalkulationsprogramm erstellt, welches intern mit einer weitaus höheren Genauigkeit rechnet als in den Tabellen angezeigt. Die Dateien liegen dieser Arbeit bei.

In den Tabellen verwende ich oft die ungewöhnliche Zeiteinheit

1 cs = 1 / 100 s, um mir das Tippen der vielen Kommata zu ersparen.

wobei die Fehler nach Gauß berechnet sind.

Schwingungsdauer der Halterung und Kreiselscheibe

Es ergibt sich die mittlere Schwingungsdauer:

T_HK = (3,691 ± 0,006)s; D T_HK/ T_HK = 0,15 %

Schwingungsdauer der Halterung, Kreiselscheibe und Aluminiumplatte

Es ergibt sich die mittlere Schwingungsdauer:

T_HKA = (4,912 ± 0,016)s; D T_HKA/ T_HKA = 0,34 %

Schwingungsdauer der Halterung, Kreiselscheibe und Stahlplatte

Es ergibt sich die mittlere Schwingungsdauer:

T_HKS = (6,990 ± 0,023)s; D T_HKS/ T_HKS = 0,33 %

Als Richtmoment der Torsionsfeder ergeben diese Messungen nach

wobei M die Masse und R der Radius der jeweiligen Zusatzscheibe sind.

Da die Reibung bei der schweren Stahlplatte merklich größer als bei der leichten Aluminiumplatte ist, sich also zu große Schwingungsdauern ergeben, wähle ich als Wert für das

Richtmoment der Feder D_R = (37,4 ± 0,4) gm²/s²; D D_R / D_R = 1%

= (0,0374 ± 0,0004) kg m²/s².

Die Messung der Schwingungsdauer der Halterung und Rotationsscheibe T_HK ist oben angegeben. Zur Bestimmung des Trägheitsmomentes der Rotationsscheibe I_z muß das Trägheitsmoment der Halterung (incl. der Stange und Torsionsfeder) T_H gemessen und vom Trägheitsmoment der Scheibe und Halterung abgezogen werden.

Messung der Schwingungsdauer der Halterung

(Aufgrund der niedrigen Schwingungsdauer

sieben Messungen über 6 Schwingungen)

Es ergibt sich die mittlere Schwingungsdauer:

T_H = (0,324 ± 0,002)s ; D T_H/ T_H = 0,7 %.

erhalte ich als Trägheitsmoment

der Halterung: I_H = (0,099 ± 0,002).gm²,

der Halterung und Kreiselscheibe: I_HK = (12,906 ± 0,144) gm²,

und somit der Kreiselscheibe alleine I_z = (12,807 ± 0,144) gm².

I_z / D I_z = 1,1%

In den folgenden Paragraphen der Auswertung gebe ich durchgehend alle Ergebnisse (meist Trägheitsmomente) in Gramm an. Somit erspare ich mir und dem Leser viele Kommata und Nullen. In Potenzen eingehende Einheiten - wie etwa die Länge - gebe ich in Ergebnissen stets in ganzen Metern an, da ihre Umrechnung manchmal leicht verwirrend ist.

Die Abmessungen des Gyroskops, die Abstände der Gewichte zur vertikalen Drehachse im Gleichgewicht etc. entnehmen Sie bitte den Abbildungen im Kapitel der theoretischen Berechnungen Seite 59.

Ich habe die Trägheitsmomente senkrecht zur Figurenachse des Gyroskops in verschiedenen Winkelstellungen anhand der Drehschwingung gemessen, wobei ich das Gyroskop mit Klebeband in den einzelnen Winkellagen fixiert habe. Die Winkelangaben beziehen sich hierbei auf die Winkelskala am Gyroskop, die dem im Bild unten eingezeichneten Winkel a und folglich dem in der Literatur üblichen Winkel q gegen die Vertikale entspricht.

Hierbei habe ich wieder die Halterung der Rotationsscheibe verwandt, die auch zur Befestigung der z-Achse des Gyroskops (mit einem kleinen Stück Pappe zur Zentrierung) hervorragend geeignet ist. Ihr Trägheitsmoment I_H = (0,099 ±  0,002).gm² muß vom Gesamtträgheitsmoment subtrahiert werden.

Bei sämtlichen Messungen habe ich den Magneten, der dazu dient die z-Achse auf der 90° - Stellung zu stabilisieren, nach unten gedreht, so daß auch sein Einfluß auf das Trägheitsmoment der z-Achse minimiert ist.

 

Beobachtung: Bei Winkellagen ¹  90° wirkt ein Drehmoment auf die Rotationsscheibe.

Dieses resultiert aus der unterschiedlichen Entfernung der einzelnen Massenpunkte der Kreiselscheibe von der vertikalen (Raumsystem) Drehachse: Weiter entfernt liegende Massenpunkte haben eine größere Trägheit als nahe der Drehachse liegende Massenpunkte.

Diese Scheinkraft ähnelt der Corioliskraft - ich ziehe einen kurzen Vergleich:

Ein Zug, der auf dem Äquator steht und dessen Gleise auf einem Längengrad verlaufen, drückt, wenn er sich auf dem Gleis in Richtung Erdpol bewegt, seitlich gegen die Schienen. Auf dem Äquator hatte er eine größere Tangentialgeschwindigkeit, die durch die Annäherung zur Drehachse verkleinert wird. Die Kraft zur Verminderung der Tangentialgeschwindigkeit üben die Schienen aus.

Das hier beobachtete Phänomen erklärt sich genau andersherum. Ich bleibe zur Erklärung bei dem Beispiel des Zuges, der auf dem gleichen Gleis steht - und der sehr lang ist: von Köln bis Afrika. Der Zug steht still. Beschleunigte sich nun die Erdrotation, so erführen die Waggons in Afrika eine stärkere Tangentialbeschleunigung als jene in Köln - Wäre das Gleis drehbar gelagert, so resultierte eine Drehung in der beobachteten Richtung.

Zunächst verwunderlich ist nun aber, daß sich auf Dauer bei der Drehschwingung eine (in der Geschwindigkeit veränderliche) Rotationsrichtung der Kreiselscheibe einstellt. Die Ursache liegt in der unterschiedlichen Reibung der Lager bei verschiedener Drehrichtung, die ich auch bei der Messung der Fallzeit festgestellt habe.

Außer der Beobachtung dieses Phänomens sind die Messungen bei Winkellagen ¹  90° bedeutungslos.

Messung der Schwingungsdauer der z-Achse ohne jegliche Kontergewichte und ohne Kreiselscheibe, in der oberen Zeile ohne und in der unteren Zeile mit den Befestigungsschrauben auf beiden Seiten - die Zeiten habe ich über 7 Schwingungen gemessen, woraus sich die hier aufgeführten Schwingungsdauern ergeben:

Messung der Schwingungsdauer der z-Achse mit Kontergewichten und der in der Tabelle angegebenen Zusatzmasse und Winkelstellung.

Bei der Winkelstellung 90° habe ich die Zeit über 7, sonst über 5 Schwingungen gemessen.

Es ergibt sich:

der Rotationsscheibe nach Beschleunigung mit der Masse m über die Fallstrecke h (Bild. 8). Dies ist am einfachsten möglich, indem man das mit der Stativstange fixierte Gyroskop derart auf einen Tisch stellt, daß die Rotationsscheibe über diesen hinausragt. Als Höhe h wird die Tischhöhe verwendet, da man hierdurch den Anfang der Strecke h sehr genau über die Tischplatte anpeilen und den Endpunkt der Strecke h optisch wie auch akustisch (Aufschlag) wahrnehmen kann. So entfällt auch das ständige Auflegen des Fadens auf die von der Firma PASCO mitgelieferte Umlenkrolle sowie deren (geringe) Reibung. Die Länge des Fadens l_S sollte so gewählt werden, daß beim Aufschlag auf dem Boden der Faden von dem Dorn der Spule fällt.

Außerdem sollte man ein farbiges Isolierband am äußeren Rand der Rotationsscheibe aufkleben und diese Markierung derart plazieren, daß sie beim Aufschlag der Masse m auf dem Boden gerade oben steht. Als Hilfe beim Abzählen der Umdrehungen habe ich eine weitere Stativstange, parallel zur Figurenachse, oberhalb der Kreiselscheibe angebracht und deren Ende mit dem gleichen Isolierband beklebt, was vor allem bei hoher Winkelgeschwindigkeit eine große Hilfe ist .

Aufgrund der Energiebilanz mgh = ½ m v_e² + ½ I w _e² und v_e = R w _e folgt

Sehen Sie hierzu: Seite 53

"Praktische Bestimmung von Trägheitsmomenten"

wobei der Radius der Aluminiumspule R = (0,02925 ± 0,00001) m und die Fallhöhe h = (0,780 ± 0,001) m betragen.

Zu der Masse der benutzten Massenscheiben (Fehler < 0,1 g) addiert sich stets die Masse der Halterung m_H = (5,6 ± 0,1) g.

woraus sich mit w _e = 2p /T_e und

folgende Mittelwerte ergeben:

Hieraus folgt der Mittelwert für das

Trägheitsmoment der Kreiselscheibe I_z = (13,08 ± 0,09) gm² .

Bei einer Beschleunigung mit einer Masse m > 200g erreicht die Kreiselscheibe derart hohe Winkelgeschwindigkeiten, daß die Umdrehungen mit bloßem Auge nicht mehr abzählbar sind.

Es gilt (II.2.2) : <=> , mit folgt und

(g = 9,81 m/s² ; R = (0,02925 ± 0,00001) m,

h = (0,780 ± 0,001) m und D m = ± 0,1g).

Aus diesen Messungen folgt als Mittelwert für das

Trägheitsmoment der Rotationsscheibe

I_z = (12,36 ± 0,77) gm².

Der angegebene Fehler ist lediglich der Mittelwert der nach Gauß berechneten Fehler der Einzelmessungen. Nach Gauß erhalte ich den Fehler D I_z = 0,13.

Die Fallzeit t und das Trägheitsmoment wird mit Reibung größer.

Die Masse des Fadens (0,2 g/m) kann kaum Ursache dieser Abweichung sein.

Eventuell liegt es an der Spannung des Fadens während des Falls - d. h. daß der Faden sich dehnt. Dies habe ich im Versuch reduziert, indem ich den Faden straff aufgewickelt habe. Meist habe ich die Rotation der Scheibe ausgenutzt, um mit ihrer Hilfe den Faden schnell und straff wieder aufzuwickeln.

Eine endliche Zeit bis zum Einsetzen der vollen Fadenspannung bewirkt jedoch, daß die Winkelbeschleunigung zunächst kleiner und die lineare Beschleunigung zunächst größer ist als nach dem Ansatz .

Dadurch wird die gemessene Fallzeit kürzer, d.h. das daraus berechnete Trägheitsmoment kleiner als erwartet. Empirisch ergibt sich zwischen der beschleunigenden Masse m und der gemessenen Fallzeit . Das Diagramm zeigt die sich mit dem Faktor a = 0,4221 ergebenden Werte für die Konstante.

Mit T² =  eingesetzt in ergibt sich das folgende Diagramm.

Das untere Diagramm ist ein Ausschnitt des oberen.

Die Abnahme der sich ergebenden Werte für m<210 g könnte auf den bremsenden Einfluß der Reibung zurückzuführen sein.

Der hohe Fehler bei den Werten kleiner Masse fällt ebenfalls auf. Er resultiert aus der unterschiedlichen Reibung der Lager bei unterschiedlichem Drehsinn. Dies spiegelt sich in der Tabelle wider. In der ersten Zeile (5,6 g) sieht man: drei Werte liegen um 1875 cs, vier Werte um 1950 cs - sie gehören jeweils zu einem Rotationssinn.

Beim Starten der jeweiligen Messung habe ich die Kreiselscheibe gedreht, bis das Massenstück - gepeilt über die Tischplatte - die richtige Höhe hatte. Dann habe ich die Scheibe stets mit einem Finger gehalten und schließlich zum Start der Messung losgelassen. Hierbei könnte es passiert sein, daß ich der Kreiselscheibe einen leichten Drehimpuls in beliebiger Richtung erteilt habe. Auch dieser Faktor spielt bei kleiner Masse eine größere Rolle.

Ich wiederholte die Messung mit einem dünnen flexiblen Draht anstelle des Garns.

Aus diesen Messungen folgt ein Mittelwert für das

Trägheitsmoment der Rotationsscheibe

I_z = (12,12 ± 0,65) gm². Der angegebene Fehler ist lediglich der Mittelwert der Fehler der Einzelmessungen. Nach Gauß erhalte ich den Fehler D I_z = 0,13.

Die Masse des Drahtes ist mit 1g/m entschieden größer, jedoch nicht derart groß, daß die Abweichung hieraus resultieren kann.

Ich habe darauf geachtet, daß die Wicklungen des Drahtes nebeneinander lagen, so daß seine Dicke den Radius der Spule nicht beeinflußt.

Beim Draht fiel die "Wellung" im gestrafften Zustand auf. Elastizität und Reibung mögen entschiedene Faktoren gewesen sein. Der Draht war nicht optimal dünn und hatte zusätzlich eine (hauchdünne) Kunststoffummantelung.

Die Bestimmung der Fallhöhe h gestaltet sich schwieriger als angenommen. In den Versuchen habe ich - wie beschrieben - die Tischhöhe h verwandt.

Die Länge der Schnur l_S (vom oberen Schlaufenende bis zum Haken der Halterung) war so bemessen, daß das obere Schlaufenende vom Dorn der Spule fiel, wenn die Massenhalterung mit der Unterkante unten auf den Boden aufschlägt. Hierfür muß natürlich auch die Spule die richtige Startposition haben, so daß zeitgleich mit dem Abrutschen des Fadens die Masse auf dem Boden aufschlägt.

Während des Abrutschens wird die Scheibe weiterhin angetrieben - es ist kein Zeitpunkt des Hinunterfallens festlegbar.

Ich wählte für alle Versuche in etwa die im Bild dargestellte Position zeitgleich mit dem Aufschlag auf dem Boden. Die Bestimmung der Fallzeit mit der Stoppuhr wäre ohne einen derartigen Endpunkt (Signal: "Aufschlag" zum Stoppen der Uhr) ungenauer.

Nachdem die Massenhalterung auf dem Boden aufgeschlagen ist, fällt sie seitlich zu Boden. Hierbei übt sie weiterhin eine Zugkraft auf den Faden (=> Drehmoment auf die Spule) aus. Die Zugkraft ist während des Umfallens zunächst klein und steigt dann wieder, bevor sie endgültig auf dem Boden liegt. Die Massenhalterung ist 6,2 cm hoch, während der Schwerpunkt - von Halterung und 100g Massenstück - etwa 1,45 cm oberhalb der Unterkante liegt.

Der Aufschlag auf dem Boden war also als zusätzlicher "Stopp" - Punkt für die Zugkraft der Massenhalterung gedacht.

Einer Fallhöhe D h = 1 cm entspricht eine Drehung der Spule mit einem Umfang U = 2p  2,925 cm = 18,38 cm um 19,5°. Die Schnur könnte vorzeitig vom Dorn gerutscht sein.

Im Versuch Falldauer erhält man nach

für h=77 cm I_z=12,52gm².

Läßt man die ersten vier - stark vom Mittelwert abweichenden - Werte für Massen m < 25,5 g außer acht (Fadenspannung), so erhält man

für h=77cm I_z=12,62gm².

Im Versuch Endgeschwindigkeit ergibt sich mit den Fallhöhen h=76 cm und h=77 cm

nach

(Einzelfehler nach Gauß)

Bei den folgenden Versuchen zur tatsächlichen Kreiselbewegung tritt zusätzlich der Fehler auf, daß die Figurenachse per Hand gehalten wird und somit die Höhe h stärker variiert.

Der Abstand der Zusatzmassen von der Drehachse beträgt d = 18,9 cm, wobei die Zusatzmasse als Massenpunkt im Zentrum des Massenstücks angenommen wird.

Die Rotationsscheibe wurde stets mit der Masse m = 205,6 g beschleunigt, wodurch sich eine Endgeschwindigkeit von w _e = (15,32 ± 0,4) s^-1 einstellt.

Nach wird das Trägheitsmoment berechnet. Da diese Gleichung nur für q  = 90° exakt gilt, werden nur diese Werte berücksichtigt.

Es sollte zur Messung der Präzessionsfrequenz W bei den Zusatzmassen m_Z = 53,8 g und m_Z = 93 g nur ein Umlauf gestoppt werden, da sonst aufgrund der Reibung der Winkel Q zu stark abnimmt. Bei der Messung mit m_Z = 153 g sollten zwei Umläufe gestoppt werden, um die Genauigkeit der Messung zu steigern.

Es gilt L_x = I_{xw x} und L_x = L sin Q ,

Wobei im Versuch genähert wird, daß der Gesamtdrehimpuls L vor und nach dem Schlag identisch bleibt. Ich vernachlässige den Zusatzimpuls des Schlages L_x - berücksichtige daher in der Auswertung nur die Werte mit kleinem L_x, d. h. mit kleinem Öffnungswinkel.

Mit w _x = W _N sin Q , folgt für den Betrag von W _N : W _N = L / I_x.

wobei ich die Endwinkelgeschwindigkeit w _e aus II.4.2.1 übertrage.

Mit dem Trägheitsmoment der Kreiselscheibe (gemittelt über die 3 Meßwerte) ergibt sich:

Lesen Sie die Diskussion über die stärkere Abweichung von Messung Nr. 2 und Nr 3 vom Mittelwert auf den Seiten 73-76.

Mit I_z = (12,8 ± 0,2) gm² erhält man nach L = I_zw den jeweiligen Drehimpuls nach der Beschleunigung. Je größer die Amplitude der Nutation, desto größer ist die Differenz des Drehimpulses vor und nach dem Schlag. Daher hebe ich zur Bestimmung des Trägheitsmomentes um die Senkrechte die Werte mit Q  = 5° hervor.

Der Wert des Trägheitsmomentes, bestimmt aus der Beschleunigung mit 205,6 g wird am realistischsten sein, da hier der höchste Drehimpuls vorliegt, also die Differenz nach dem Schlag am ehesten zu vernachlässigen ist.

Die Rotationsscheibe hat ein leichtes Spiel, d.h. sie verrutscht ein wenig (ca. 0,2 mm) auf der z-Achse. Dies ist merkbar durch ein klackendes Geräusch und dem Einstellen eines Ungleichgewichts und einer daraus resultierenden Präzession. Ich habe erfolgreich kleine Streifen Klebeband als Unterlegscheibe verwandt.

Die Rotationsscheibe wird mit einer gewissen Masse beschleunigt, wobei darauf zu achten ist, daß die Tischhöhe exakt gepeilt und gleichzeitig die z-Achse im 90°- Winkel gehalten wird.

Nun wird die Rotationsscheibe durch einen zur Achse senkrecht stehenden Schlag (per Hand) zur Nutation gebracht, wobei der senkrechte Versatz der Impulsachse deutlich zu sehen ist - vorausgesetzt, die Polsterung in der Wippe wird nicht berührt.

Da der Öffnungswinkel nicht vorhersehbar ist, habe ich sehr viele Messungen durchgeführt und später die Meßwerte verwandt, bei denen die Nutation möglichst um die Waagerechte stattfand. Daraus ergeben sich die verschiedenen Meßbereiche bei verschiedener Beschleunigung. Der seitliche Versatz der Drehachse nach dem Stoß ist im Mittel aber deutlich zu sehen.

Zu beachten ist, daß die Nutation nur in einem Winkel zwischen a  = 50° und a  = 115° stattfindet, da sonst die Polsterung in der Wippe berührt wird.

Bei Beschleunigung mit 150 g- und 200 g-Massenstücken ist die Umlaufzeit über 5 Umdrehungen gemessen worden, bei 100 g über 4 und bei 50 g nur über 3, da die Reibung derart groß ist, daß der Öffnungswinkel Q schon bei einer Umdrehung stark abnimmt.

Ich erhalte also nach den Meßwerten - wiedergegeben auf der nächsten Seite mit L_z = I_{zw e} und I_z = (12,8 ± 0,2) gm²- wobei ich die Werte mit kleinstem Nutationswinkel berücksichtige, da dort der zusätzliche Drehimpuls am geringsten ist

als Trägheitsmoment senkrecht zur Figurenachse I_x = (61,6 ± 1,5) gm².

In ziemlicher Übereinstimmung mit dem

theoretisch errechneten Wert I_x = (60,40 ± 0,51) gm²

und dem mit der Drehschwingung gemessenen I_x = (59,16 ± 0,99) gm².

Damit bestimme ich das Verhältnis q = I_z / I_x = 0,2 ; beim Gyroskop handelt es sich also wie erwartet um einen prolaten Kreisel.