Zubehör siehe Abb.1:

 

 

 

 

 

Zusätzlich erhältlich beim Assistenten sind:

Massensatz mit Massenhalterung, zwei Stoppuhren, Schnur, Schieblehre, Zollstock.

Drehmoment, Drehimpuls, Trägheitsmoment, kräftefreier Kreisel, schwerer Kreisel, Präzession und Nutation, Drehimpulssatz. Vergegenwärtigen Sie sich auch die Versuche "Trägheitsmoment" (M6) und "Translations- und Rotationsbewegung" (M7).

Es empfiehlt sich ebenso nachzulesen unter: rotierende Koordinatensysteme, Eulersche Winkel, Eulersche Gleichungssysteme, Kreiselgleichungen, Larmor-Präzession, Larmor-Frequenz.

Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik, Bd.1: de Gruyter.

Demtröder: Experimentalphysik 1, Mechanik und Wärme: Springer-Verlag.

Falk-Ruppel: Mechanik, Relativität, Gravitation: Springer-Verlag.

French, Anthony P.: Newtonsche Mechanik: de Gruyter.

Kuypers, Friedhelm: Klassische Mechanik: VCH .

Ein starrer Körper hat sechs Freiheitsgrade, drei der Translation und drei der Rotation. Unser Kreisel wird in einem Punkt festgehalten, so daß nur drei Freiheitsgrade der Rotation vorhanden sind. Fällt dieser Fixpunkt mit dem Schwerpunkt zusammen, so daß die Gravitationskraft kein Drehmoment (M = dL/dt = 0) ausübt, bewegt sich der Kreisel kräftefrei. Beim kräftefreien Kreisel ist der Drehimpuls L eine raumfeste Größe. Als nicht-kräftefrei bezeichnet man einen Kreisel, wenn ein äußeres Drehmoment M = dL/dt wirkt.

Atome und Atomkerne verhalten sich wie rotierende Magnete. Sie bewegen sich in einem äußeren Magnetfeld wie mechanische Kreisel unter dem Einfluß der Schwerkraft. Die Kenntnis der Kreiselbewegung ist daher nicht nur für das Verständnis von Diskuswurf, Kreiselkompaß, moderner Ballistik und Erdrotation erforderlich, sondern auch für die Wechselwirkung von Protonen, Neutronen und Elektronen, Atomen und Atomkernen mit Magnetfeldern und ist somit für grundlegende physikalische Strukturen und Eigenschaften der Materie von Bedeutung (Aufbau des periodischen Systems, Quantenzahlen, Zeeman-Effekt, Elektronenspin-Resonanz, Kernspin-Resonanz, etc.). Die praktischen Anwendungen reichen von der Auswuchtung von Rädern bis hin zur Kernspin-Resonanz-Tomographie in der Medizin.

Genau wie von Position x und Geschwindigkeit v = dx / dt bei Translationsbewegungen, sprechen wir bei Rotationsbewegungen von Winkelposition f und Winkelgeschwindigkeit
w = df / dt. x und v sind polare Vektoren, deren Betrag und Richtung klar sind. w dagegen ist ein axialer Vektor (wie alle Kreuzprodukte, Magnetfelder und durch Drehrichtungen festgelegte Vektoren). w steht senkrecht auf der von der Rotation beschriebenen Ebene, charakterisiert also deren Lage (im R³) eindeutig. Der Betrag von w ist, analog zu v, die Winkeländerung pro Zeit; die Richtung, der "rechte" Drehsinn (vgl. Abb 4), ist Konvention.

 

Von Translationsbewegungen sind wir gewohnt, daß Impuls- und Geschwindigkeitsvektor stets gleichgerichtet sind, da die Trägheit eines Körpers in alle Richtungen gleich ist (s. Abb 2).
Es gilt p = mv.

Für den Drehimpuls gilt analog L = I w (= r ´ p).

Bei einem beliebigen Körper sind die Trägheitsmomente um verschiedene Drehachsen nicht gleich (s. Abb.3); sie werden durch den Trägheitstensor I beschrieben. Man findet jedoch immer drei aufeinander senkrechte Achsen, die Hauptträgheitsachsen, bei denen der Körper, wenn er um sie gedreht wird, die Hauptträgheitsmomente I_x, I_y und I_z hat.

Da der Rotationssinn irrelevant für die Trägheit ist, ist I symmetrisch, folglich diagonalisierbar mit den Eigenwerten I_x, I_y und I_z und den Eigenvektoren in Richtung der Hauptträgheitsachsen.

Wir beschränken uns auf Kreiselbewegungen eines rotationssymmetrischen Körpers und finden mit der Symmetrieachse (Figurenachse) leicht eine der Hauptträgheitsachsen. Wir benutzen sie als z-Achse des körperfesten Koordinatensystems mit dem Ursprung im Schwerpunkt S (I_x = I_y, s. Abb 2).

Für den Drehimpuls L = (L_x, L_y, L_z) und die Winkelgeschwindigkeit w = (w _x, w _y, w _z) gilt
L = I w oder in Komponentenschreibweise:

(1) L_x = I_{xw x ,} L_y = I_{yw y ,} L_z = I_zw z .

4. h., im allgemeinen Fall haben L, w und die Figurenachse (z-Achse) auf Grund der unterschiedlichen Trägheitsmomente um verschiedene Drehachsen verschiedene Richtungen (Abb.2). Hieraus resultiert die komplizierte, "torkelnde" Bewegung eines Kreisels.

 

Ergreifen Sie das Vorderrad eines Fahrrades oder betrachten Sie wieder die rotierende Fahrradfelge (Abb. 4), die Sie nun links am Punkt A festhalten, während Sie rechts den Punkt B mit der Kraft F senkrecht nach unten drücken. Das rotierende Rad weicht Ihrer Kraft rechtwinklig (Richtung x-Achse) aus. Dies ist folgendermaßen zu erklären: Das von Ihnen aufgewandte Drehmoment M = d ´  F steht senkrecht auf der Achse (d = AB) und der Kraft F. Nun ist die zeitliche Änderung des Drehimpulses L das Drehmoment M, folglich bewegt sich B in Richtung M = dL/dt.

Durch das ständige senkrechte Ausweichen können Sie sich die Kreisbewegung (Präzession) bei andauernder äußerer Kraft erklären. Auch das Erteilen einer Anfangsgeschwindigkeit zur nutationsfreien Präzession ist so verständlich: Sie erteilen dem Kreisel exakt das Moment entgegen der Gravitationskraft, so daß er nicht "hinunterfällt", was eine Nutationsbewegung einleitete.

Anhand der Vorversuche sollen Sie sich mit den Bewegungsabläufen vertraut machen. Führen Sie folgende Versuche vor Beginn der quantitativen Messungen durch:

Ziel des Versuchs ist es, die "vertikale Drehachse" (s. Abb. 1) vertikal auszurichten und den Kreisel ins Gleichgewicht zu bringen.

Durchführung :

1) Bringen Sie den Kreisel aus dem Gleichgewicht, indem Sie die Kontergewichte an die vertikale Drehachse schieben.

2) Justieren Sie einen der Schraubfüße der Stativbasis, bis sich die Figurenachse über den anderen Schraubfuß neigt (s. Abb. 6 a).

3) Drehen Sie die Figurenachse um 90 Grad, so daß sie parallel zum anderen Schenkel des Stativfußes ist. (s. Abb. 6 b). Justieren Sie den anderen Schraubfuß solange, bis der Kreisel in dieser Stellung stehen bleibt.

4) Bringen Sie den Kreisel durch Verschieben des 900-g-Gegengewichts und des 40-g-Gegengewichts zum Feinabgleich wieder ins Gleichgewicht.

Hinweis: Plazieren Sie vor der Justierung das Gyroskop gemäß Abb. 12.

Ziel des Versuchs ist der sichere Umgang mit dem einfachen Antriebsmechanismus.

Durchführung:

2.a) Um die Kreiselscheibe mit bekannter Energie zu beschleunigen (vgl. VI.), halten Sie die Figurenachse fest, hängen die Schnur mit der Halterung an den hierfür vorgesehenen Dorn und wickeln den Faden sorgfältig auf der Spule auf. Legen Sie bestimmte Massen m auf die Halterung, und lassen Sie diese die Kreiselscheibe über eine bestimmte Strecke h beschleunigen. Hierbei muß die z-Achse des Kreisels in der Waagerechten gehalten werden .

2.b) Für die Vorversuche genügt eine unbekannte Geschwindigkeit der Kreiselscheibe: Wickeln Sie den Faden, wie unter 2.a) beschrieben, auf, halten Sie die Figurenachse fest, und ziehen Sie am Faden, bis der Kreisel die gewünschte Geschwindigkeit erreicht hat.

ACHTUNG: Die Rotationsscheibe kann aus Konstruktionsgründen die vertikale Drehachse berühren. Bitte seien Sie vorsichtig, so daß das Gyroskop nicht beschädigt wird. Bedenken Sie, daß die Kreiselgesetze zu unerwarteten Bewegungen führen!

1) Bringen Sie den justierten Kreisel ins Gleichgewicht.

2) Beschleunigen Sie die Kreiselscheibe, und geben Sie dann der Figurenachse einen Stoß. Beobachten Sie die Nutationsbewegung.

Ziel des Versuchs ist die Demonstration der Wirkung zusätzlicher Drehmomente auf einen präzessierenden Kreisel.

1) Bringen Sie den justierten Kreisel mit Hilfe der Gegenwichte ins Gleichgewicht.

2) Drehen Sie leicht an der vertikalen Drehachse.

Fassen Sie die Figurenachse am Ende an und bewegen Sie diese in beliebiger Richtung. Erkunden Sie die resultierenden Kräfte, bis Sie die Kreuzprodukte und die durch Dreh- richtungen festgelegten Vektoren (Rechte-Hand-Regeln) vollends erfassen.

3) Stecken Sie eine Zusatzmasse auf die Schraube vor der Rotationsscheibe.

4) Lassen Sie den Kreisel rotieren und geben Sie den Kreisel zur Präzessionsbewegung frei. Erzeugen Sie durch die Vermittlung einer geringen Anfangsgeschwindigkeit in Präzessionsrichtung eine nutationsfreie Präzession.

5) Bremsen und beschleunigen Sie die Präzessionsbewegung durch Drehen der vertikalen Drehachse. Erklären Sie die Bewegung des Kreisels .

Ziel des Versuchs ist die Demonstration der Addition zweier paralleler Drehimpulse.

ACHTUNG: Die Kugellager sind von höchster Präzision. Vermeiden Sie bitte jede Berührung der seitlichen Metallabdeckungen - kein Demontieren der ersten Rotationsscheibe - und seien Sie bitte äußerst behutsam beim Aufstecken der zweiten Rotationsscheibe.

Ein kräftefreier Kreisel drehe sich mit der Winkelgeschwindigkeit w _z um seine Figurenachse und habe insgesamt den Drehimpuls L = I w , wobei L = konstant.

1. Fall: L zeigt in Richtung der Figurenachse. Dann bleibt die Figurenachse raumfest, es ist

(2) L = (0, 0, L_z) = (0, 0, I_{z w z}).

und folglich w = w _z (keine Nutation, schlafender Kreisel).

2. (allgemeiner) Fall: L hat eine beliebige Richtung. Für einen beliebigen Zeitpunkt t wählen wir die y-Achse des körperfesten Koordinatensystems senkrecht zu der von L und der z-Achse (Figurenachse) aufgespannten Ebene. Dann gilt für die y-Komponente L_y = I_{yw y} = 0 und es ist

(3) L = (L_x, 0, L_z) = (I_{x w x}, 0, I_{z w z} ).

 

Figurenachse (z-Achse), Drehimpuls L und Winkelgeschwindigkeit w liegen folglich immer in einer Ebene, so daß w in den Richtungen von L und der Figurenachse z in Komponentenvektoren zerlegt werden kann (s. Abb. 8).

(4) w  = W _Nut + w _F.

Die Punkte der Figurenachse mit den Ortsvektoren
r = (0, 0, r_z) besitzen die Geschwindigkeit
v = w ´ r = W _Nut ´ r_z senkrecht zu L und zur
z-Achse. Jeder Punkt der Figurenachse durchläuft folglich einen Kreis senkrecht zum raumfesten Drehimpuls. Die Figurenachse insgesamt bewegt sich auf dem Mantel eines Kegels, dem Nutationskegel, mit der Spitze im Drehpunkt und dem Öffnungswinkel q zwischen Drehimpuls und Figurenachse. Die Bewegung heißt Nutation oder reguläre Präzession. Ebenso durchläuft auch der Vektor der Winkelgeschwindigkeit einen Kegel, den Rastpolkegel.

Aus L_x = I_{xw x ,}L_x = Lsinq und w _x = W _Nut sinq (s. Abb.8) folgt für den Betrag von W _Nut

(5) .

Für den Betrag der Winkelgeschwindigkeit des Kreisels um seine Figurenachse findet man entsprechend

.

Gleichung (5) wird zur Bestimmung des Trägheitsmomentes senkrecht zur Figurenachse benutzt .

 

Zur Beschreibung der Bewegung eines Kreisels, auf den ein äußeres Drehmoment wirkt, betrachten wir den einfachen Fall einer nutationsfreien Präzessionsbewegung eines Kreisels
(L in Richtung der Figurenachse, Winkelgeschwindigkeit w _z um die Figurenachse). Es folgt L = I_{z w z} (*). Wenn der Kreisel ohne Zusatzmasse kräftefrei ist, dann erzeugt eine Zusatzmasse m im Abstand a vom Fixpunkt das Drehmoment

 

dL steht senkrecht auf der von der Figurenachse und von g aufgespannten Ebene. Der Drehimpuls L in Richtung der Figurenachse bleibt dem Betrag nach konstant und ändert seine Richtung derart, daß die Spitze des Drehimpulsvektors einen Kreis mit der

Winkelgeschwindigkeit W  = df /dt

durchläuft, wobei dL/dt = rdf /dt

und r = Lsinq ist (s.Abb.10).

Dabei bezeichnet q den Winkel zwischen g und z-Achse. Damit erhält man aus (6):

M = mga sinq == W L sinq

und für W

(7) mga = I_{zW w z} bzw. .

(*) Diese Beziehung gilt exakt nur für den horizontal rotierenden Kreisel (q  =  p /2, sinq  = 1) oder näherungsweise für rasch rotierende, symmetrische Kreisel (vgl. dazu VII. Zusatz für Physiker).

Unter dem Einfluß eines Drehmoments M rotiert jeder Punkt der Figurenachse mit der Winkelgeschwindigkeit W auf einer Kreisbahn senkrecht zu g. Die Figurenachse insgesamt durchläuft den Mantel eines Kegels mit dem Öffnungswinkel q und der Spitze im Fixpunkt.

Die Kreiselscheibe wird durch eine Masse m in Rotation versetzt (s. Abb.12). Das Trägheitsmoment können Sie mit Hilfe des Energiesatzes bestimmen. Dieser Versuch bildet die Fortsetzung des Versuchs "Trägheitsmoment" (M6).

Durchfällt die Masse m die Höhe h, so gilt die Energiebilanz

mgh = ½ mv_e² + ½ Iw _e²_,

3. Bestimmen Sie eine Fallhöhe h (Tischhöhe) und messen Sie die erreichte Endwinkelgeschwindigkeit w _e der Kreiselscheibe nach der Beschleunigungsphase, indem Sie die Zeit über mehrere Umdrehungen der Kreiselscheibe messen (w _e=2p /T_e).

Den Anfang der Strecke h können sie über die Tischfläche sehr genau anpeilen.

1. Führen Sie diesen Versuch mit mind. 5 verschiedenen Massen (incl. 200g, 150g, 100g und 50g) je drei mal durch. Die Schnur (l_S) sollte exakt so lang sein, daß beim Aufschlag der Masse auf dem Boden die Schnur vom Dorn der Spule fällt. Beachten Sie, daß die Masse nicht die Tischkante berührt.

Auswertung:

Anhand der Präzessionsgeschwindigkeit W _P des nicht-kräftefreien Kreisels bestimmen Sie das Trägheitsmoment der Kreiselscheibe (I_z) nach Gleichung (7).

3. Beschleunigen Sie den Kreisel mit m = 200g und lassen Sie ihn in der horizontalen Ebene präzessieren (q  = 90°). Eine auftretende Nutation wird verhindert, indem man dem Kreisel eine passende Anfangs- Präzessionsgeschwindigkeit erteilt. Dies ist notwendig, da Gleichung (7) unter der Annahme einer nutationsfreien, horizontalen Präzession hergeleitet wurde.
1. Bestimmen Sie die Präzessionsgeschwindigkeit W _P für fünf verschiedene Zusatzmassen m_Z. Bei der Messung mit m_Z = 153g sollten zwei Umläufe gemessen werden, um die Genauigkeit der Messung zu steigern.

1. Berechnung des Trägheitsmomentes der Kreiselscheibe I_z

Die Kreiselscheibe hat eine Gesamtmasse von m = 1735 g. Messen Sie die Radien der Kunststoffscheibe R_K und der Aluminiumspule R_A mit der Schieblehre, berechnen Sie deren Massen aus dem Literaturwert der Dichte von Aluminium (weitere Daten s. Abb. 13) und hieraus das Trägheitsmoment als Summe der beiden Einzelteile. Diese vereinfachen Sie zu homogenen Zylindern (Rotation um z-Achse, Abb. 14):

.

 

Messen Sie die Abstände der Rotationsscheibe und der Kontergewichte von der vertikalen Drehachse im ausbalancierten Zustand, sowie deren Radien und Breiten. Bitte demontieren Sie nicht die Kreiselscheibe, die nötigen Daten sind angegeben. Das Trägheitsmoment eines Zylinders bei Drehung um eine durch den Schwerpunkt S, parallel zur Kreisfläche verlaufende Drehachse s (Abb.14) beträgt

.

Nach dem Steinerschen Satz beträgt das Drehmoment bei Parallelverschiebung der Drehachse um den Abstand a (vgl. Abb. 13)

Sie erhalten das Gesamtträgheitsmoment um die vertikale Drehachse wieder als Summe der Einzelkomponenten, wobei das Trägheitsmoment der z-Achse I_Achse = 4,84 gm² beträgt.
Überlegen Sie sich, für welche Komponenten Sie Gleichung (15) oder die des Trägheitsmoments einer dünnen Scheibe (B ® 0) verwenden oder wann Sie eine Konzentration der Masse im Schwerpunkt annehmen können (I = ma²). Vergleichen Sie die Ergebnisse der Messungen untereinander und mit denen der theoretischen Berechnungen.

Für Gl. (7) nehmen wir an, daß der Drehimpuls des Kreisels in der Figurenachse bleibt. Er setzt sich jedoch aus dem Drehimpuls um die Figurenachse und dem durch die Präzession gegebenen Drehimpuls zusammen. Ein beliebiger Kreiselpunkt besitzt die Winkelgeschwindigkeit

(8) w = W + w _z.

Die xz-Ebene des körperfesten Koordinatensystems wählen wir wieder so, daß die y-Komponente des Drehimpulses verschwindet. Dann ist L_y = I_{yw y} = 0 und

L = I_{xw x} + I_{zw z}.

Aufgrund der Präzessionsbewegung des Gesamtsystems mit der Winkelgeschwindigkeit W gilt für die Drehimpulsänderung

(9) = W ´ L = I_{x W ´ w x} + I_{zW ´ w z} .

Aus Abb. 15 entnimmt man ï I_{xW ´ w x ï} = I_{xW w x}cosq und ï I_{zW ´ w zï} = I_{zW w z}sinq .

Wegen dL/dt ^ W ist dL/dt ein Vektor in der Horizontalen mit dem Betrag

(10) = -I_x W w _xcosq +I_{zW w z}sinq .

Wegen w _x = W sinq folgt

(11) = - I_x W ² sinq cosq +I_{zW w z}sinq = mga sinq

und abweichend von Gl. (7)

(12) mga = I_{zw zW} - I_xcosq W ²

(13) mga = I_{zw zW} (1 - ).

Bei horizontaler Figurenachse (cosq = 0) geht Gl. (12) in Gl. (7) über. Das gilt auch für rasch rotierende Kreisel I_{zw z} > > I_zW .