Berechnung der Trägheitsmomente des Gyroskops

 

Zur theoretischen Berechnung von Trägheitsmomenten

 

Für die Herleitung ## nach Demtröder, 1994 (Anhang) ## der Berechnung des Trägheitsmomentes einer Scheibe führe ich Zylinderkoordinaten ein: x = r cosj

y = r sinj

z = z.

 

Das Linienelement ds (Bild II.3.1) hat die Komponenten:

ds = {dr, rdj , dz}.

 

Ein Volumenelement dV hat das Volumen: dV = r dr dj dz.

 

Steht die Drehachse senkrecht auf dem Mittelpunkt der Scheibenfläche,

dann beträgt das Trägheitsmoment einer homogenen Scheibe:

 

Die Berechnung des Trägheitsmoments um eine durch den Schwerpunkt, parallel zur Scheibenfläche verlaufende Drehachse (s. Bilder: II.2.2 u. II.2.6) ist schwieriger:

 

 

.

 

Nach dem Steinerschen Satz erhalte ich für das Trägheitsmoment bei Parallelverschiebung der Drehachse um die Strecke a:

(II.3.1) mit

 

 

II.3.3 Berechnung des Trägheitsmomentes der Kreiselscheibe I3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

RA =(2,925 ± 0,002) cm, RK = (12,70 ± 0,002) cm

rAF = (1,35 ± 0,01) cm, rF = (0,246 ± 0,002) cm

rH = (0,775 ± 0,025) cm, bK = (2,22 ± 0,005) cm

bi = (1,56 ± 0,01) cm, bA = (1,86 ± 0,01) cm

Gesamtmasse M = (1735 ± 1) g

d2 = (0,945 ± 0,01) cm, d1 = (1,28 ± 0,01) cm (Æ z-Achse)

Kugellager: bL = (0,70 ± 0,05 ), rL = (1,10 ± 0,01) cm, mL = (11 ± 1) g

 

 

 

1. Grobe Näherung

 

Annahme einer homogenen Scheibe mit RK = 0,127 m und m = 1735 g. Mit I = ½ mR² berechnet sich das Trägheitsmoment der Kreiselscheibe zu IK = ½ MRK² = 14,00 gm². Das tatsächliche Trägheitsmoment ist kleiner, da die Masse der Aluminiumspule "zentraler sitzt".

 

2. Gute Näherung

 

Die Lager und die diese umgebende Aluminiumfassung, die drei Bohrlöcher und die seitlichen Führungsschienen der Aluminiumspule werden nicht berücksichtigt (s. Bild II.2.3):

Von der gewogenen Gesamtmasse der Rotationsscheibe M = 1735 g ziehe ich nun die Masse der Aluminiumspule ab, die ich mit dem Literaturwert für die Dichte von Aluminium r A = 2,7 g/cm³ berechne.

 

Masse der Aluminiumspule (s.Abb. 2): mA = r A p dA (R²-rH²) = 126,5 g.

 

Also folgt für die Masse der PVC-Scheibe mPVC = m - mA = 1608,5 g und als Summe der zwei Trägheitsmomente von Aluminiumspule und PVC-Scheibe nach I = ½ mR² für das Trägheitsmoment der Kreiselscheibe IK = 13,00 gm².

 

3. "Exakte" Berechnung:

 

Die Kugellager von Inline-Rollschuhen sind denen des Gyroskops sehr ähnlich. Die Daten der Lager (Breite und Gewicht) sind, da sie nicht demontierbar sind, denen der Rollschuhlager entlehnt: mL = (11 ± 1) g, bL = (0,70 ± 0,05) cm.

 

Die Tiefe der drei Bohrlöcher beträgt hBL = (1,415 ± 0,01) cm und ihr Radius ist rBL = (0,208 ± 0,01) cm. Die Mittelpunkte der Löcher haben den Abstand rBLZ = (1,634 ± 0,01) cm vom Zentrum der Figurenachse.

 

Die Spule besteht nach Angaben des Herstellers aus 6005-T6-Aluminium. Dies ist eine amerikanische Norm für eine Legierung aus Aluminium mit 1% Mg, Si und Zn. Der Literaturwert der Dichte dieser Elemente beträgt bei Al 2,7 g/cm³, bei Mg 7,3 g/cm³, bei Si 2,4 g/cm³ und bei Zn 7,12 g/cm³. Nimmt man einen gleichen Prozentsatz von Mg, Zn und Si an, so erhält man die Dichte r A = (2,729 ± 0,014) g/cm³. Der Fehler berechnet sich aus den Werten für maximalen und minimalen Siliziumanteil.

 

Es ergibt sich für die Masse des Aluminiumanteils der Kreiselscheibe (s.Abb. 2):

mA =  r A p  (bI (RA2 - rH2)

+ (bA - bI)((RA + rF)2 - rH2) + (bK (rAF2- rH2)) - (2bL)(rL2 - rH2)) - (3 rBL² hBL)

Führungsschienen Alu innerhalb des PVC Lagerfassungen Löcher

 

mA = (145,08 ± 1,64) g, wobei der Fehler "nach Gauß" berechnet ist

(s. beiliegende Diskette).

 

Von der Gesamtmasse M ziehe ich die Masse des Aluminiumanteils mA und die der Lager 2 mL ab und erhalte für die Masse des PVC-Anteils mPVC = (1567,92 ± 1,92) g (Fehler nach Gauß).

 

Der große Radius des PVC-Anteils der Kreiselscheibe trägt zum Trägheitsmoment I3 wesentlich bei. Daher habe ich die Masse des Aluminiumanteils und der Kugellager sehr genau bestimmt, um als Differenz zur Gesamtmasse die Masse der PVC-Scheibe zu erhalten. Die Berechnung des Trägheitsmomentes des Aluminiumanteils (Integration) vereinfache ich wegen des geringen Radius’. Ebenso vernachlässige ich hierbei die Kugellager.

 

Für das Trägheitsmoment des PVC-Anteils erhält man

IPVC = ½ r PVC p bK (RK4 - rAF4) = ½ r PVC p bK (RK2 + rAF2) (RK2 - rAF2)

mit r PVC = mPVC / VPVC = mPVC / bK p  (RK2 - rAF2)

IPVC = ½ mPVC (RK2 + rAF2) und dem Fehler

 

 

IPVC = (12,79 ± 0,02) gm2.

 

Für das Trägheitsmoment der Aluminiumspule erhält man mit der Vereinfachung

IAlu = ½ r A p bA (RA4 - rH4), IAlu = 0,0580 gm2, wobei ich aufgrund des kleinen Wertes auf die Fehlerrechnung verzichte.

 

Als Summe I3 = IPVC + IAlu erhalte ich somit

für das Gesamtträgheitsmoment der Kreiselscheibe I3 = (12,85 ± 0,04) gm2, wobei aufgrund der in der Fehlerrechnung nicht berücksichtigten Vereinfachungen der Fehler höher angesetzt ist.

 

 

II.3.3 Berechnung des Trägheitsmomentes I1 des Gyroskops um die Senkrechte zur Figurenachse

 

Die Kreiselscheibe habe ich mit der Aluminiumspule nach außen montiert. So ist die für die Messungen erforderliche mehrmalige Beschleunigung der Rotationsscheibe mit einer bestimmten Masse einfacher durchzuführen.

 

 

Das Trägheitsmoment der Achse (Bild II.2.5) ohne Rotationsscheibe ist nur näherungsweise zu berechnen. Daher verzichte ich auf eine Fehlerrechnung und sehe das Ergebnis lediglich als Vergleichswert zu den Meßwerten der Versuche "Drehschwingung" an.

Hierzu addiere ich die Drehmomente der Kontergewichte und der Rotationsscheibe; die sich ergebenden Zahlenwerte sind in der Tabelle auf Seite 63 aufgeführt.

 

 

 

 

 

 

 

 

Berechnung des Trägheitsmomentes der Achse

 

Einzig die Stange der Achse besteht als einziges Teil aus Aluminium 6005-T5 (Alle anderen Teile 6005-T6), und entspricht einer amerikanischen Norm für eine Legierung aus Aluminium mit 0,7% Mg und Si. Der Literaturwert für die Dichte von Aluminium liegt bei 2,7 g/cm³, von Mangan bei 7,3 g/cm³ und von Silizium bei 2,4 g/cm³. Nimmt man einen gleichen Prozentsatz von Mg und Si an, so erhält man für die Dichte der Legierung r Achse = (2,713 ± 0,011) g/cm³. Den Fehler erhalte ich aus den Werten 2,723 g/cm³ und 2,704 g/cm³ für maximalen und minimalen Mangananteil.

 

 

 

Berechnung des Trägheitsmomentes der Aluminiumstange IAS

 

Die Stange ist unterschiedlich dick (d1 und d2).

Es gilt für die Masse des voluminöseren Teils der Dicke d1 und Länge (l1 + l2):

m’AS1 = p  (d1/2)2 (l1 + l2) r Achse = 138,6 g. Es folgt nach >a href="#">II.3.1), wobei die Verschiebung der Drehachse um die Strecke a =  ist:

IAS1 = mAS1 ; I’AS1 = 3,39 gm2.

 

Von diesem Wert IAS1 muß jedoch der Wert ISL1 für das sehr tiefe Schraubenloch (lSL = 4,00 cm, rSL = 0,225 cm) der Befestigungsschraube abgezogen werden, zumal es sich am Ende der Stange befindet und somit das Trägheitsmoment entscheidend "verringert".

Man erhält für die fiktive Masse des Schraubenloches:

mSL = p  rSL2 lSL r Achse = 1,7 g.

Es ergibt sich das fiktive Trägheitsmoment

ISL1 = mSL = 0,14 gm2

und der tatsächliche Wert des Trägheitsmomentes IAS1 = I’AS1 - ISL1 = 3,25 gm2.

 

Der kleinere Teil der Achse der Dicke d2 und Länge l3 hat die Masse

mAS2 = p  (d2/2)2 l3 r Achse = 16,1 g und für das Trägheitsmoments folgt nach (II.3.1):

I’AS2 = mAS2 .

I’AS2 = 0,30 gm2.

 

Hier muß ebenso das fiktive Trägheitsmoment des Schraubenloches abgezogen werden:

ISL2 = mSL = 0,04 gm2;

IAS2 = I’AS2 - ISL2 = 0,26 gm2.

Ich erhalte als Trägheitsmoment der

Aluminiumstange IAS = IAS1 + IAS2 = 3,51 gm2.

 

Zur Berechnung des Trägheitsmomentes der zwei Schrauben an den Enden nehme ich eine Konzentration der Masse 5 Millimeter hinter dem Ende der z-Achse an. Die Massenverteilung der Schraube (die metallene Mutter) rechtfertigt diese Annahme.

ISch = mSch  = 1,16 gm2.

Dieses Ergebnis deckt sich mit den Meßergebnissen des Versuchs II.4.1.2 "Drehschwingung". Das Trägheitsmoment der zwei Schrauben ergibt sich dort als Differenz der Messungen "Achse o. Schrauben" IAchse o.S. = (3,77 ± 0,07) gm2 und "Achse mit Schrauben" IAchse = (4,84 ± 0,09) gm2 zu (1,07 ± 0,11) gm2.

 

Die Gesamtmasse der Achse (incl. der Aluminiumstange, des zentralen Aluminiumblocks, der stählernen ##nach Angaben des Herstellers PASCO besteht die Skala aus der Legierung 303SE, also einem einfachen Stahl ## Winkelskala, des Magneten ## Der Magnet kann bei einer qualitativen Demonstration der Kreiselbewegungen derart gedreht werden, daß eine kleine Unwucht oder Nutationen unauffällig gedämpft werden. Bei Messungen steht der Magnet stets vertikal nach unten, so daß er keinen Einfluß auf die Kreiselbewegung hat. ## und diverser Schrauben - vgl. Bild 4) beträgt mAchse = 370,5 g. Subtrahiere ich die oben errechnete Masse der Aluminiumstange (mAS1 + mAS2 - 2ž mSL = 151,3 g), so erhalte ich als Summe der Masse des Aluminiumblocks, der Winkelskala usw. mRest = 219,2 g.

Mit der Drehschwingung habe ich als Wert für das Trägheitsmoment der Achse ohne Schrauben IAchse o.S. = 3,77 gm2 erhalten. Ziehe ich von diesem Wert das oben errechnete Trägheitsmoment der Aluminiumstange (IAS =3,51 gm2) ab, so beträgt das gemeinsame Trägheitsmoment von Aluminiumblock, Winkelskala, usw.: IRest = 0,26 gm2. Eine genauere Berechnung dieses kleinen Wertes halte ich in Anbetracht der komplizierten Massenverteilung nicht für sinnvoll, sondern begnüge mich mit folgender Überlegung: Nach IRest = mRest â2 ergibt sich für den Abstand â = = 3,44 cm. Konzentrierte sich also die Masse mRest auf einen Punkt mit Abstand â (bzw. Röhre mit Radius â), so erhielte man als Summe der einzelnen Trägheitsmomente den mit der Drehschwingung gemessenen Wert. Betrachtet man die Form bzw. Massenverteilung der Achse, so erscheint dieser Wert angemessen.

 

Berechnung des Trägheitsmomentes I1 des Gyroskops durch Addition der Trägheitsmomente der Einzelkomponenten

 

Zum Trägheitsmoment der Achse IAchse = (4,84 ± 0,09) gm2 werden nun die Trägheitsmomente der zwei Kontergewichte, der PVC-Scheibe, der Aluminiumspule und der Kugellager addiert.

Ich zerlege den Aluminiumanteil der Kreiselscheibe in zwei Teile, erstens die Spule und zweitens den Anteil innerhalb des PVC, der einen größeren Radius zur Drehachse hat.

 

Die Masse des Aluminiumrings innerhalb der PVC-Scheibe beträgt

 

 

mAinnen = (19,60 ± 0,54) gm2 (Fehler nach Gauß).

Subtrahiert man diesen Wert von der Gesamtmasse des Aluminiumanteils mA , erhält man für die Spule eine Masse von mAS = (125,48 ± 1,72) gm2. Der Fehler ergibt sich aus der Subtraktion. Er wäre kleiner, wenn man mAS neu, d. h. analog zu mA oder mAinnen berechnete, der Aufwand ist jedoch sehr groß.

 

Während ich für die anderen Komponenten — nur zum Vergleich — die Trägheit mit verschiedenen Vereinfachungen berechne (s. u.), ermittle ich das Trägheitsmoment der Kugellager, aufgrund der geringen Ausdehnung, stets unter Annahme einer Konzentration im Massenmittelpunkt nach I = m a2.

Mit den Abständen

aL1 = l2 + bL/2 = 9,55 cm und aL2 = l2 + bA + bK -bL/2 = 12,75 cm

ergibt sich IL = mL (aL12 + aL22) = (0,28 ± 0,02) gm2.

Das Trägheitsmoment der zwei kleinen Ringe mit einer Masse von je 0,7 g, die im Abstand von l1+ bA + bK von der Drehachse die Kreiselscheibe fixieren, addiere ich direkt mit dem der Lager und erhalte ILR = (0,30 ± 0,02) gm2.

 

Grobe Näherung

 

Es wurde eine Konzentration der einzelnen Massen im jeweiligen Massenmittelpunkt (innerhalb der z-Achse) angenommen und das Trägheitsmoment nach I = ma² berechnet:

.

Das Ergebnis liegt auf Grund der quadratischen Abhängigkeit von I zu a und der Ausdehnung der Komponenten in horizontaler Richtung (hier ist der Abstand der einzelnen Massenpunkte zur Drehachse die Hypotenuse (vgl. Bild II.2.6)) unter dem tatsächlichen Wert. Die Einzelergebnisse und die Summe sind zum Vergleich in der unten stehenden Tabelle eingetragen.

 

Gute Näherung

 

Die Trägheitsmomente der Einzelkomponenten werden nach

 

(II.3.1) mit

 

 

berechnet. In Näherung werden nun die einzelnen Komponenten als homogene Zylinder angesehen. Dies ist insofern eine Näherung, da sämtliche Komponenten um die z-Achse liegende, dickwandige Ringe sind — meist mit Schraubenlöchern. Die Näherung ist jedoch sehr gut. Die Fehler der Einzelkomponenten in der Tabelle sind nach Gauß berechnet.

 

Errechnete Zahlenwerte für das Trägheitsmoment I1

 

grobe Näherung

gute Näherung

Fehler

I in gm²

I in gm²

I in gm²

z-Achse (Drehschwing.)

4,84

4,84

0,09

900 g Gewicht

29,65

30,00

0,26

40 g Gewicht

0,35

0,35

0,01

PVC-Scheibe

16,67

23,05

0,07

Aluminiumspule

1,91

1,94

0,07

Aluminium in PVC

0,21

0,21

0,01

Kugellager u. Ringe

0,30

0,30

0,02

Summe

53,62

60,40

0,51

 

Als Gesamtträgheitsmoment senkrecht zur Figurenachse ergibt sich I1 = (60,40 ± 0,05) gm2 (Einzelfehler nach Gauß).